Podczas obliczeń metodą elementów skończonych stosuje się również siatki nieregularne zbudowane z elementów trójkątnych w dwóch wymiarach lub z elementów czworościennych w trzech wymiarach. Niestety metoda tworzenia funkcji bazowych poprzez wektory węzłów nie działa na siatkach trójkątnych lub siatkach czworościennych. Przed powstaniem analizy izogeometrycznej była to najczęściej stosowana wersja metody elementów skończonych.

Obecnie, obliczenia metodą elementów skończonych często integruje się z obiektami geometrycznymi tworzonymi w systemach CAD, i wówczas konieczność wygenerowania siatki elementów nieregularnych na obiektach geometrycznych opisanych już za pomocą funkcji B-spline i NURBS, wymaga dodatkowego narzutu pacy, oraz konieczności uzgadniania elementów na sąsiadujących obiektach geometrycznych. Na siatkach nieregularnych nie definiuję się funkcji B-spline o wyższej regularności, ze względu na fakt, iż funkcje B-spline zdefiniowane są na wielu sąsiadujących elementach prostokątnych. Na elementach trójkątnych i czworościennych definiuje się wielomiany rozpięte na elementach sąsiadujących z danym wierzchołkiem lub krawędzią. Przykładem takich funkcji są wielomiany Lagrange'a lub wielomiany hierarchiczne.

Metoda definiowania funkcji bazowych na takich elementach jest dobrze opisana w książkach prof. Leszka Demkowicza [1][2]

Na każdym elemencie trójkątnym zdefiniować można wielomiany pierwszego stopnia lub wielomiany wyższych stopni. Popularny sposób definiowana tych wielomianów przedstawiony jest na Rys. 1. Zaznaczony na nim trójkąt definiuję orientację trzech swoich krawędzi, co ma znaczenie przy formalnym definiowaniu funkcji bazowych i elementu skończonego.

Mamy więc teraz następujące możliwości

• Funkcje bazowe wielomiany pierwszego stopnia związane z trzema wierzchołkami trójkąta, osiągające maksimum równe 1 w poszczególnych wierzchołkach trójkąta, oraz 0 w pozostałych.
• Funkcje bazowe wielomiany stopnia p związane z trzema krawędziami trójkąta, będące wielomianem stopnie p na krawędzi, na której są związane, osiągające zera we wszystkich wierzchołkach oraz na pozostałych dwóch krawędziach.
• Funkcje bazowe wielomiany stopnia p związane z wnętrzem trójkąta, będące wielomianem stopnie p nad wnętrzem trójkąta, osiągające zera we wszystkich wierzchołkach i krawędziach.

W tym celu na dowolnym elemencie trójkątnym definiujemy dwie osie układu współrzędnych \( \xi_1 \) wzdłuż jednego boku trójkąta oraz \( \xi_2 \) wzdłuż drugiego boku trójkąta.
Definiujemy trzy funkcje tworzące tak zwany barycentryczny układ współrzędnych rozpięty na trójkącie
\( \lambda_1(\xi_1,\xi_2)=1-\xi_1-\xi_2 \quad \lambda_2(\xi_1,\xi_2)=\xi_1 \quad \lambda_3(\xi_1,\xi_2)=\xi_2 \)
osiągające maksimum równe 1 w poszczególnych wierzchołkach trójkąta, oraz 0 w pozostałych.
Funkcja \( \lambda_1 \) związana jest pierwszym wierzchołkiem w punkcie (0,0) w układzie współrzędnych rozpiętym przez osie \( \xi_i \textrm{ i } \xi_2 \).

Funkcja \( \lambda_2 \) związana jest z drugim wierzchołkiem na osi \( \xi_1 \). Funkcja \( \lambda_3 \) związana jest z trzecim wierzchołkiem na osi \( \xi_2 \).
Funkcje te pozwalają nam definiować nasze funkcje bazowe, które oznaczamy \( \psi_i \). Zaczynamy od funkcji bazowych związanych z wierzchołkami trójkąta
\( \psi_1(\xi_1,\xi_2)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2)=1-\xi_1-\xi_2 \\ \psi_2(\xi_1,\xi_2)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2)=\xi_1 \\ \psi_3(\xi_1,\xi_2)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2)=\xi_2 \)
Mamy więc oczywiście funkcję bazową \( \psi_1 \) związaną z pierwszym wierzchołkiem w punkcie (0,0) w układzie współrzędnych rozpiętym przez osie \( \xi_1 \textrm{ i } \xi_2 \), funkcję bazową \( \psi_2 \) związaną z drugim wierzchołkiem na osi \( \xi_1 \), oraz funkcje bazową \( \psi_3 \) związaną z trzecim wierzchołkiem na osi \( \xi_2 \)

Zbudowanie funkcji bazowych drugiego stopnia na trójkącie wymaga przemnażania przez siebie funkcji bazowych określonych na wierzchołkach. Budujemy funkcje
\( \psi_4(\xi_1,\xi_2)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2)\lambda_2(\xi_1,\xi_2)=(1-\xi_1-\xi_2)\xi_1 \\ \psi_5(\xi_1,\xi_2)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2)\lambda_3(\xi_1,\xi_2) =\xi_1\xi_2 \\ \psi_6(\xi_1,\xi_2)=\lambda_3(\xi_1,\xi_2)\lambda_1(\xi_1,\xi_2)= \xi_2(1-\xi_1-\xi_2) \)
Widać więc, że przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym i drugim wierzchołkiem, \( \lambda_1 \) i \( \lambda_2 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji kwadratowej rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami.

Przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z drugim i trzecim wierzchołkiem, \( \lambda_2 \) i \( \lambda_3 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji kwadratowej rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami. Z kolei przemnożenie przez siebie funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym i trzecim wierzchołkiem, \( \lambda_1 \), i \( \lambda_3 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji kwadratowej rozpiętej na trzeciej krawędzi trójkąta.

Funkcji bazowa nad wnętrzem elementu definiowana jest jako iloczyn wszystkich funkcji \( \lambda_1 \), \( \lambda_2 \), \( \lambda_3 \).
\( \psi_7(\xi_1,\xi_2)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2)\lambda_2(\xi_1,\xi_2)\lambda_3(\xi_1,\xi_2) \)

Jak to wygląda w trzech wymiarach, gdzie elementy mają kształt czworościenny? W przypadku trzech wymiarów musimy rozpiąć trzy osie układu współrzędnych \( \xi_1, \xi_2, \xi_3 \) wzdłuż trzech krawędzi czworościanu.
Następnie definiujemy analogiczne cztery funkcje
\( \lambda_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=1-\xi_1-\xi_2 \xi_3 \\ \lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_1 \\ \lambda_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_2 \\ \lambda_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_3 \)
osiągające maksimum równe 1 w poszczególnych wierzchołkach trójkąta, oraz 0 w pozostałych.

Definiujemy funkcje bazowe związane z wierzchołkami czworościanu
\( \psi_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=1-\xi_1-\xi_2-\xi_4 \\ \psi_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_1 \\ \psi_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_2 \\ \psi_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_3 \)

Mamy więc oczywiście funkcję bazową \( \psi_1 \) związaną z pierwszym wierzchołkiem w punkcie (0,0,0) w układzie współrzędnych rozpietym przez osie \( \xi_1, \xi_2, \xi_3 \), funkcję bazową \( \psi_2 \) związaną z drugim wierzchołkiem na osi \( \xi_1 \), funkcję bazową \( \psi_3 \) związaną z trzecim wierzchołkiem na osi \( \xi_2 \), oraz funkcję bazową \( \psi_4 \) związaną z trzecim wierzchołkiem na osi \( \xi_3 \).

Zbudowanie funkcji bazowych drugiego stopnia na czworościanie wymaga przemnażania przez siebie funkcji bazowych określonych na wierzchołkach. Budujemy funkcje krawędziowe przemnażając dwie funkcje wierzchołkowe
\( \psi_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(1-\xi_1-\xi_2-\xi_3)\xi_1 \\ \psi_5(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_1\xi_2 \\ \psi_6(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_2\xi_3 \\ \psi_7(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_1(1-\xi_1-\xi_2-\xi_3) \)
Widać więc że przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym i drugim wierzchołkiem, \( \lambda_1 \) i \( \lambda_2 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu drugiego stopnia - rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami (stopień wielomianu to suma wszystkich wykładników potęg niezerowego jednomianu).

Przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z drugim i trzecim wierzchołkiem, \( \lambda_2 \) i \( \lambda_3 \) daje nam możliwość zdefiniowania funkcji - wielomianu drugiego stopnia - rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami. Przemnożenie przez siebie dwóch funkcji wierzchołkowych związanych z trzecim i czwartym wierzchołkiem, \( \lambda_3 \)i \( \lambda_4 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu drugiego stopnia - rozpiętej na krawędzi pomiędzy tymi wierzchołkami. Z kolei przemnożenie przez siebie funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym i czwartym wierzchołkiem, \( \lambda_1 \), i \( \lambda_5 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu drugiego stopnia - rozpiętej na trzeciej krawędzi trójkąta.

Funkcje bazowe na ścianach elementów uzyskuje się mnożąc odpowiednie trzy funkcje bazowe z wierzchołków otaczających ścianę
\( \psi_8(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(1-\xi_1-\xi_2-\xi_3)\xi_1\xi_2 \\ \psi_9(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\xi_1\xi_2 \xi_3 \\ \psi_{10}(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(1-\xi_1-\xi_2-\xi_3) \xi_2\xi_3 \\ \psi_{11}(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(1-\xi_1-\xi_2-\xi_3)\xi_1 \xi_3 \)
Przemnożenie przez siebie trzech funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym, drugim i trzecim wierzchołkiem, \( \lambda_1 \), \( \lambda_3 \)
i \( \lambda_3 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu trzeciego stopnia \( \psi_8 \) - rozpiętej na ścianie pomiędzy tymi wierzchołkami.

Podobnie przemnożenie przez siebie trzech funkcji wierzchołkowych związanych z drugim, trzecim i czwartym wierzchołkiem, \( \lambda_1, \lambda_3, \lambda_4 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu trzeciego stopnia \( \psi_9 \)- rozpiętej na ścianie pomiędzy tymi wierzchołkami.
Przemnożenie przez siebie trzech funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym, trzecim i czwartym wierzchołkiem, \( \lambda_1, \lambda_3, \lambda_4 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu trzeciego stopnia \( \psi_10 \) - rozpiętej na ścianie pomiędzy tymi wierzchołkami.

W końcu przemnożenie przez siebie trzech funkcji wierzchołkowych związanych z pierwszym, drugim i czwartym wierzchołkiem, \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_4 \) daje nam możliwość zdefiniowana funkcji - wielomianu trzeciego stopnia \( \psi_11 \)- rozpiętej na ścianie pomiedzy tymi wierzchołkami.
Ostatnią funkcją bazową do zdefiniowania jest funkcja związana z wnętrzem elementu. Można ją uzyskać przemnażając przez siebie cztery funkcje bazowe wierzchołkowe
\( \psi_{12}(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=\lambda_1(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_2(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_3(\xi_1,\xi_2,\xi_3)\lambda_4(\xi_1,\xi_2,\xi_3)=(1-\xi_1-\xi_2-\xi_3)\xi_1 \xi_2 \xi_3 \)